[ 01 / 10 ]
Materiały_1.docx · T1 · 2023-06-07
Transmitancja DC drive z wejściem $u_s$ i wyjściem $i_a$
★ powtarza się
silnik prądu stałego
przekształtnik
Treść zadania
Dany jest schemat symulacyjny przekształtnikowego napędu z silnikiem prądu stałego (DC).
Podać wzór na transmitancję dla układu z wejściem „$u_s$" i wyjściem „$i_a$".
Przyjąć $M_o = 0$.
Rozwiązanie pełne (z wpływem $\psi\omega_m$)
Z modelu silnika i przekształtnika:
$$G_{przek}(s) = \frac{k_p}{\tau_p s + 1}, \qquad G_1(s) = \frac{1/R_a}{\tau_e s + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1/R_a}{\tau_e s + 1} \cdot \frac{\psi^2}{J_z s}}$$
$$G(s) = \frac{i_a(s)}{u_s(s)} = \frac{k_p}{\tau_p s + 1} \cdot G_1(s)$$
Rozwiązanie uproszczone (zalecane przez prowadzącego)
Pomijamy wpływ zmian prędkości kątowej (przerywamy sprzężenie od $\psi\omega_m$):
$$G(s) = \frac{k_p}{\tau_p s + 1} \cdot \frac{1/R_a}{\tau_e s + 1}$$
UWAGA — bez tego komentarza punkty mogą polecieć:
„W tym przypadku konieczny jest komentarz, że szybkość zmian prądu jest zdecydowanie większa od szybkości zmian prędkości kątowej."
To dosłowne sformułowanie z rozwiązania prowadzącego.
Stałe czasowe — przypomnienie
| Stała | Wzór | Wartość typowa |
|---|---|---|
| elektromagnetyczna | $\tau_e = L_a / R_a$ | ms (szybka) |
| mechaniczna | $\tau_t = J_z / c_t$ | 100ms–s (wolna) |
| przekształtnika | $\tau_p = \frac{1}{2}T_{PWM}$ | ~50–100 µs |
W napędach: $\tau_t \gg \tau_e \gg \tau_p$ — to uzasadnia uproszczenia w obu kierunkach.
[ 02 / 10 ]
Materiały_1.docx · T1 · 2023
Człon inercyjny pierwszego rzędu — 3 reprezentacje
teoria
równania stanu
Treść zadania
Podać wzór na transmitancję członu inercyjnego pierwszego rzędu o wzmocnieniu „b" i stałej czasowej „c"
oraz podać opis tego układu równaniem stanu (dziedzina czasu).
1) Transmitancja
$$G(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{b}{c \cdot s + 1}$$
2) Wyprowadzenie do dziedziny czasu
$$Y(s)(c s + 1) = b X(s) \implies c\, \dot{y}(t) + y(t) = b\, x(t)$$
Przekształcamy do postaci jawnej dla pochodnej:
$$\dot{y}(t) = -\frac{1}{c} y(t) + \frac{b}{c} x(t)$$
3) Równania stanu
$$\dot{x}(t) = \left[-\frac{1}{c}\right] x(t) + \left[\frac{b}{c}\right] u(t)$$
$$y(t) = [1] x(t) + [0] u(t)$$
Czyli: $A = -\dfrac{1}{c}$, $B = \dfrac{b}{c}$, $C = 1$, $D = 0$.
[ 03 / 10 ]
Materiały_1 · kolokwium_2023 · pytanie powtórne
Regulator stanu z zerowym uchybem przy skoku $M_o$
★ powtarza się 2x
DC + BLDC
całka uchybu
Treść zadania
Narysować schemat sterowania z regulatorem stanu. Struktura regulacji powinna zapewnić
zerowy uchyb ustalony po wystąpieniu skokowej zmiany momentu obciążenia.
Dorysować czujniki pomiarowe oraz ich połączenia z regulatorami.
Klucz: dodanie 4. zmiennej stanu
Standardowy regulator stanu (czysto proporcjonalny) nie radzi sobie ze skokiem $M_o$. Należy dodać integrator uchybu prędkości jako dodatkową zmienną stanu:
$$\frac{dp}{dt} = \omega_m^{ref} - \omega_{mx}$$
Schemat regulatora stanu (do narysowania)
Prawo sterowania:
$$u_s = -k_{11} i_{ax} - k_{12} \omega_{mx} - k_{13} u_{ax} - k_{14} \cdot p$$
Czujniki pomiarowe (do dorysowania na schemacie fizycznym)
| Czujnik | Mierzy | Skalowanie |
|---|---|---|
| $k_i$ | prąd twornika $i_a$ | shunt + wzmacniacz lub Hall |
| $k_\omega$ | prędkość $\omega_m$ | enkoder lub tachoprądnica |
| $k_u$ | napięcie twornika $u_a$ | dzielnik napięciowy |
Macierze (z modelem przekształtnika)
$$x_{spp} = \begin{bmatrix} i_{ax} \\ \omega_{mx} \\ u_{ax} \end{bmatrix}, \quad
A_{sp} = \begin{bmatrix}
-\frac{R_a}{L_a} & -\frac{\psi k_i}{L_a k_\omega} & \frac{k_i}{L_a k_u} \\
\frac{\psi k_\omega}{J_z k_i} & -\frac{c_t}{J_z} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{\tau_p}
\end{bmatrix}$$
$$B_{sp} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{k_u k_p}{\tau_p} \end{bmatrix}, \quad
E_{sp} = \begin{bmatrix} 0 \\ -\frac{k_\omega}{J_z} \\ 0 \end{bmatrix}$$
Komentarz słowny (do napisania)
Dodanie integratora uchybu prędkości jako 4. zmiennej stanu zapewnia zerowy uchyb ustalony
przy skokowych zaburzeniach momentu obciążenia. Regulator stanu wykorzystuje pełne sprzężenie
zwrotne od wektora stanu $(i_a, \omega_m, u_a, p)$ z macierzą wzmocnień $K$ dobieraną metodą
lokowania biegunów lub LQR.
[ 04 / 10 ]
Materiały_1.docx · T1 · 2023
FOC dla silnika PMSM, $i_d^{ref} = 0$
★ pewne
PMSM
3 PI
transformacje dq/αβ
Treść zadania
Narysować schemat blokowy struktury sterowania FOC dla silnika PMSM. Przyjąć, że sygnał referencyjny
dla składowej prądu w osi „d" jest równy zero. Dostępne są sygnały pomiarowe prądów i napięć fazowych
oraz sygnał prędkości kątowej.
Schemat blokowy — komplet bloków
Lista bloków obowiązkowych do narysowania
- 3 regulatory PI w kaskadzie: $\omega_m$, $i_d$, $i_q$
- $i_d^{ref} = 0$ wyraźnie zaznaczone
- Transformacja abc→αβ (Clarke) na pomiarach prądów
- Transformacja αβ→dq (Park forward) z kątem $\alpha_e$
- Transformacja dq→αβ (Park inverse) na sygnałach sterowania
- Mnożnik $p_b$: $\alpha_e = p_b \cdot \alpha_m$ (kąt elektryczny!)
- Różniczkowanie: $\omega_m = d\alpha_m/dt$
- PWM + Falownik 6×IGBT, źródło DC
- PMSM + obciążenie + czujnik położenia (resolver/enkoder)
Dlaczego $i_d = 0$?
Moment elektromagnetyczny PMSM (z magnesami powierzchniowymi):
$$m_e = \frac{3}{2} p_b \psi_f \cdot i_q$$
Tylko składowa $i_q$ wytwarza moment; $i_d$ tylko zwiększa straty miedzi. Wymuszenie $i_d^{ref} = 0$ daje strategię MTPA (Maximum Torque per Ampere).
Komentarz słowny
Trzy regulatory PI w kaskadzie: zewnętrzny PI prędkości generuje referencję momentu
(czyli $i_q^{ref}$), wewnętrzne PI prądów wymuszają zadane składowe $i_d$ i $i_q$.
W stanie ustalonym sygnały w wirującym układzie dq są stałe — co umożliwia stosowanie
zwykłych regulatorów PI.
[ 05 / 10 ]
kolokwium_2023 Q2 · kolos_2024 Q3
FOC dla silnika klatkowego (RFOC) — orientacja wg strumienia wirnika
★ powtarza się 2x
silnik indukcyjny
estymator
Treść zadania
Narysować FOC dla silnika klatkowego. Sterowanie. Układ odniesienia związany z wektorem przestrzennym strumienia wirnika.
Schemat (DRFOC)
Cechy odróżniające od FOC PMSM
| FOC PMSM | RFOC silnik klatkowy |
|---|---|
| $i_d^{ref} = 0$ | $\psi_r^{ref}$ jako sygnał wejściowy |
| 3 regulatory PI | 4 regulatory PI (+ pętla strumienia) |
| Czujnik położenia $\alpha_m$ | Estymator strumienia wirnika |
| Strumień od magnesów stałych | Strumień wzbudzany przez $i_{sd}$ |
Estymator strumienia wirnika
$$\hat{\underline{\psi}}_r = \frac{\hat{L}_r}{\hat{L}_M}\left(\hat{\underline{\psi}}_s - \hat{\sigma}\hat{L}_s \underline{i}_s\right)$$
gdzie całkowity współczynnik rozproszenia:
$$\sigma = 1 - \frac{L_M^2}{L_s L_r}$$
Strumień stojana $\hat{\psi}_s$ wyznaczany z całkowania EMF (patrz pytanie 06).
Moment elektromagnetyczny w RFOC
$$m_e = \frac{3}{2} p_b \frac{L_M}{L_r} \psi_{rd} \cdot i_{sq}$$
Składowa $i_{sd}$ wytwarza strumień, $i_{sq}$ moment — analogia do silnika DC.
[ 06 / 10 ]
Materiały_2.jpg · kolos_2024 Q4
Wyznaczanie strumienia stojana z mierzalnych $u_s, i_s$
★ powtarza się
indukcyjny
ograniczenia!
Treść zadania
Poniższe równania opisują maszynę indukcyjną klatkową. W jaki sposób można wyznaczyć strumień stojana
wykorzystując łatwo mierzalne wielkości elektryczne prądu i napięcia stojana?
Podać ewentualne ograniczenia związane z dokładnością pomiarów.
Wyprowadzenie metody
Z równania stojana w stacjonarnym układzie odniesienia:
$$\underline{u}_s = R_s \underline{i}_s + \frac{d\underline{\psi}_s}{dt}$$
Wyizolujemy pochodną strumienia i scałkujemy:
$$\underline{\psi}_s(t) = \underline{\psi}_s(t_0) + \int_{t_0}^{t}\left(\underline{u}_s - R_s \underline{i}_s\right) dt$$
W składowych $\alpha, \beta$ (po transformacji abc→αβ):
$$\hat{\psi}_{s\alpha}(t) = \hat{\psi}_{s\alpha}(t_0) + \int_{t_0}^{t}(u_{s\alpha} - R_s i_{s\alpha})\,dt$$
$$\hat{\psi}_{s\beta}(t) = \hat{\psi}_{s\beta}(t_0) + \int_{t_0}^{t}(u_{s\beta} - R_s i_{s\beta})\,dt$$
Dlaczego to „łatwo mierzalne wielkości"?
- $u_{sa}, u_{sb}, u_{sc}$ — pomiar napięć fazowych (proste dzielniki napięciowe)
- $i_{sa}, i_{sb}$ — czujniki Hall lub transformatory prądowe
- $i_{sc} = -i_{sa} - i_{sb}$ — wynika z bilansu (brak przewodu N)
- Po transformacji abc→αβ otrzymujemy wektory $\underline{u}_s, \underline{i}_s$
★ OGRANICZENIA (kluczowa część odpowiedzi!)
1) Dryft idealnego integratora.
Czyste całkowanie $\frac{1}{s}$ + nawet niewielki offset DC w pomiarach $u_s$ albo $i_s$
→ wynik całki rośnie do nieskończoności. Rozwiązanie: zastąpić idealny integrator
członem inercyjnym pierwszego rzędu: $\frac{1}{s} \to \frac{1}{s + \omega_c}$.
2) Niedokładność znajomości $R_s$.
Rezystancja stojana zmienia się z temperaturą (wzrost o ~30% przy nagrzaniu).
Przy małych prędkościach spadek $R_s i_s$ jest dominujący nad EMF —
mały błąd w $R_s$ daje duży błąd w estymacji.
Wniosek: estymator dokładny tylko przy dużych prędkościach.
Wniosek: estymator dokładny tylko przy dużych prędkościach.
3) Offset DC i błędy skalowania w przetwornikach A/C.
Akumulujący się błąd w czasie. Konieczna kalibracja.
4) Warunek początkowy $\psi_s(t_0)$.
Często nieznany — zazwyczaj przyjmuje się 0, ale to wprowadza stałe przesunięcie estymaty.
Estymator z członem inercyjnym (lepsza wersja)
$$\hat{\psi}_s = \frac{1}{s+\omega_c}\hat{u}_{emf} + \frac{\omega_c}{s+\omega_c}\hat{\psi}_s$$
Częstotliwość $\omega_c$ ustala kompromis: większa $\omega_c$ → szybsze tłumienie dryftu, ale większe opóźnienie fazowe przy niskich częstotliwościach.
[ 07 / 10 ]
kolos_2024 Q2
Regulator dla położenia BLDC — jaki typ?
BLDC
teoria układów
typ 1
Treść zadania
Podany jest schemat sterowania prędkością w napędzie z silnikiem BLDC. Należy zaproponować strukturę
sterowania umożliwiającą sterowanie położeniem wirnika. Jaki typ regulatora należy zastosować
aby uzyskać zerowy uchyb ustalony dla skokowej zmiany sygnału referencyjnego położenia?
Uzasadnić odpowiedź.
Odpowiedź
Wystarczy regulator P (proporcjonalny).
Uzasadnienie
Pełna struktura kaskadowa wygląda tak:
Pętla prędkości w stanie zamkniętym (z regulatorem PI) ma zachowanie inercji I rzędu:
$$G_x(s) \approx \frac{1}{2\tau_p s + 1}$$
A obiekt regulacji położenia (po dołączeniu zamkniętej pętli prędkości) zawiera integrator naturalny ($\omega_m \to \alpha_m$ jest całkowaniem):
$$G_{o\alpha}(s) = \frac{G_x(s)}{s} = \frac{1}{s(2\tau_p s + 1)}$$
To jest układ typu 1 w pętli otwartej.
Wniosek z teorii układów regulacji
| Typ układu otwartego | Uchyb ustalony przy skoku | Uchyb przy rampie |
|---|---|---|
| 0 (bez integratora) | $e_{ss} = \frac{1}{1+K_p}$ | $\infty$ |
| 1 (jeden integrator) | $e_{ss} = 0$ ← ten przypadek! | $1/K_v$ |
| 2 (dwa integratory) | $e_{ss} = 0$ | $0$ |
Komentarz finałowy
Ponieważ obiekt regulacji położenia zawiera już naturalny integrator (przejście od prędkości do położenia),
do uzyskania zerowego uchybu ustalonego przy skokowej zmianie referencji położenia wystarczy regulator P.
Dla zerowego uchybu przy zmianach typu rampa (stała prędkość referencyjna) trzeba by zastosować PI w pętli położenia.
[ 08 / 10 ]
kolokwium_2023 Q1
Transmitancja zastępcza obiektu do projektowania regulatora prądu
uproszczenie
modułowe optimum
Treść zadania
Podać transmitancję zastępczą tego układu do zbudowania regulatora prądu.
(Schemat zawiera przekształtnik, model silnika z $\psi$-mnożnikiem, integratorem i sprzężeniem od prędkości.)
Pełna transmitancja (drugiego rzędu)
$$G_{oId}(s) = \frac{\tau_t s + 1}{R_a \tau_e \tau_t s^2 + R_a(\tau_e + \tau_t)s + \frac{\psi^2}{c_t}}$$
Ten obiekt nie spełnia warunku Kesslera ($\tau_1 \gg \tau_\Sigma$) — nie da się bezpośrednio
zastosować modułowego optimum.
Uproszczenia (zaznaczyć ✗ na schemacie)
- $\tau_p \ll \tau_e$ — przekształtnik impulsowy z f_PWM kHz
- Szybkość zmian prądu ≫ prędkości → przerywamy sprzężenie od $\psi\omega_m$ (✗)
- Zaniedbujemy moment obciążenia $m_o$ (✗)
Otrzymany uproszczony obiekt
$$G_{oI}(s) = \frac{\frac{k_p}{R_a} k_i}{(\tau_p s + 1)(\tau_e s + 1)}$$
Schemat uproszczonego obiektu:
$u_s$
→
$\frac{k_p}{\tau_p s + 1}$
→
$u_a$
→
$\frac{1/R_a}{\tau_e s + 1}$
→
$i_a$
→
$k_i$
→
$i_{ax}$
Stosujemy modułowe optimum — regulator PI
$$G_{Ri}(s) = \frac{k_{Ri}(\tau_{Ri} s + 1)}{s}$$
Nastawy:
$$k_{Ri} = \frac{R_a}{2 k_p \tau_p k_i}, \qquad \tau_{Ri} = \tau_e$$
Kompensator $\tau_{Ri} = \tau_e$ likwiduje dominującą inercję silnika.
[ 09 / 10 ]
notatki własne · pytanie pomocnicze
Modułowe vs symetryczne optimum — porównanie
teoria
kryteria Kesslera
Pytanie pomocnicze
Podać kryteria doboru nastaw regulatora dla modułowego i symetrycznego optimum. Kiedy stosować które?
Tabela porównawcza
| Cecha | Modułowe optimum | Symetryczne optimum |
|---|---|---|
| Postać obiektu | $\tau_1 \gg \tau_\Sigma$ | $\tau_1 \approx \tau_2$ |
| Postać regulatora | $G_R(s) = \dfrac{k_R(\tau_R s + 1)}{s}$ (PI) | |
| Wzmocnienie $k_R$ | 1/(2 k_o τ_Σ) |
τ_1/(8 k_o τ_Σ²) |
| Stała czasowa $\tau_R$ | $\tau_R = \tau_1$ (kompensacja) | $\tau_R = 4\tau_\Sigma$ |
| Przeregulowanie | ~4.3% | ~43% |
| Charakter | Reference tracking | Disturbance rejection |
| Filtr wstępny | nie wymagany | $G_F = \frac{1}{2\tau_x s + 1}$ konieczny! |
| Typowe zastosowanie | regulator prądu | regulator prędkości |
Konkretne nastawy dla regulatora prądu (modułowe)
$$k_{Ri} = \frac{R_a}{2 k_p \tau_p k_i}, \qquad \tau_{Ri} = \tau_e$$
Konkretne nastawy dla regulatora prędkości (symetryczne)
Obiekt po dołączeniu pętli prądu: $\tau_x = 2\tau_p$.
$$k_{R\omega} = \frac{J_z k_i}{8 \psi \tau_x k_\omega}, \qquad \tau_{R\omega} = 4\tau_x$$
Co się dzieje przy złym doborze?
- Modułowe na obiekt z $\tau_1 \approx \tau_2$ → wolne odpowiedzi, słabe tłumienie zaburzeń
- Symetryczne bez filtra → 43% przeregulowanie, niedopuszczalne dla zadawania referencji
[ 10 / 10 ]
notatki własne · pytanie pomocnicze
Założenia upraszczające do opisu silników AC
silniki AC
model matematyczny
Pytanie pomocnicze
Wymienić założenia upraszczające stosowane przy formułowaniu modelu matematycznego silnika
indukcyjnego klatkowego (lub PMSM).
Lista 7 założeń
- Silnik 3-fazowy symetryczny
- Pominięcie anizotropii, nasycenia magnetycznego, histerezy i prądów wirowych
- Pominięcie wyższych harmonicznych w szczelinie powietrznej
- $R$ i $L$ stojana stałe (nie zmieniają się ze stanem pracy)
- Rozłożone pasmowo uzwojenia stojana i wirnika zastępcze przez koncentryczne (skupione)
- Brak przewodu zerowego N: $i_{sa} + i_{sb} + i_{sc} = 0$
- Sinusoidalny rozkład pola magnetycznego w szczelinie
Definicja wektora przestrzennego (przy okazji)
$$\underline{x}(t) = \frac{2}{3}\left(x_a(t) \cdot 1 + x_b(t) \cdot \underline{a} + x_c(t) \cdot \underline{a}^2\right)$$
gdzie $\underline{a} = e^{j 2\pi/3}$ — wersor w płaszczyźnie zespolonej.
Bonus: równania silnika klatkowego (najważniejsze)
W stacjonarnym układzie odniesienia ($\omega_{frame}=0$):
$$\underline{u}_s = R_s \underline{i}_s + \frac{d\underline{\psi}_s}{dt}$$
$$0 = R_r \underline{i}_r + \frac{d\underline{\psi}_r}{dt} - jp_b\omega_m\underline{\psi}_r$$
$$\underline{\psi}_s = L_s \underline{i}_s + L_M \underline{i}_r, \quad \underline{\psi}_r = L_r \underline{i}_r + L_M \underline{i}_s$$
Moment elektromagnetyczny:
$$m_e = \frac{3}{2}p_b\,\mathfrak{Im}(\underline{\psi}_s^* \underline{i}_s)$$